Question

15．已知函数f（x）=x²-3x+lnx-a，（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，求出f（x）的最大值和最小值，通过讨论a的范围求出零点的个数即可．

解答 解：（1）∵${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴增区间是$（{0，\frac{1}{2}}）和（{1，+∞}）$，减区间是$（{\frac{1}{2}，1}）$；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，
由${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
$f（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$，f（1）=-2，
∴当$a∈（\frac{5}{4}-ln2，+∞）$有一个零点；
当$a=\frac{5}{4}-ln2$有两个零点；
当$a∈（-2，\frac{5}{4}-ln2）$有三个零点；
当a=-2有两个零点；
当a＜-2有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点，是一道中档题．