Question

已知f（x）=x²-2|x|，则满足f[f（x）]=-

1

2

的实数x的个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=t，现在来求满足f（t）=-

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的t，容易判断f（t）为偶函数，所以可先求t≥0时的t，解出为t=1+

2

2

，或1-

2

2

．根据偶函数的对称性知，t＜0时，满足f（t）=-

1

2

的解为-1-

2

2

，或-1+

2

2

，而接着就要判断以下几个方程：f（x）=1+

2

2

，f（x）=1-

2

2

，f（x）=-1-

2

2

，f（x）=-1+

2

2

解的个数，由于f（x）是偶函数，所以只需判断x≥0时以上几个方程解的个数即可，而x＜0时方程解的个数和x≥0时解的个数相同，最后即可得出满足f[f（x）]=-

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2

的实数x的个数．

解答： 解：易知f（x）为偶函数，令f（x）=t，则f[f（x）]=-

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2

变形为f（t）=-

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；
t≥0时，f（t）=t2-2t=-

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，解得t=1+

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2

，或1-

2

2

；
∵f（t）是偶函数；
∴t＜0时，f（t）=-

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2

的解为，t=-1-

2

2

，或-1+

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2

；
综上得，f（x）=1+

2

2

，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
当x≥0时，
x2-2x=(x-1)2-1=1+

2

2

，方程有1解；
x2-2x=(x-1)2-1=1-

2

2

，方程有1解；
x2-2x=(x-1)2-1=-1-

2

2

，方程无解；
x2-2x=(x-1)2-1=-1+

2

2

，方程有2解；
∴当x≥0时，方程f（x）=t有4解；
∵f（x）是偶函数，∴x＜0时，f（x）=t也有4解；
综上所述，满足f[f（x）]=-

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2

的实数x的个数为8．
故选D．

点评：考查偶函数的概念及偶函数图象的对称性，以及解偶函数方程和判断偶函数方程解的个数所用到的方法：只需求出x≥0时方程的解．