题目内容
12．已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）若a＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．
分析 （1）先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）根据对数函数的单调性解不等式即可．
解答 解：（1）要使函数有意义，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
即函数的定义域为（-1，1），
则f（-x）=loga（-x+1）-loga（1+x）=-[loga（x+1）-loga（1-x）]=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
（2）若a＞1，则由f（x）＞0．得loga（x+1）-loga（1-x）＞0，
即loga（x+1）＞loga（1-x），
即x+1＞1-x，则x＞0，
∵定义域为（-1，1），
∴0＜x＜1，
即不等式的解集为（0，1）．
点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义结合对数函数的单调性是解决本题的关键．
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