题目内容

2．某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研：
项目A：通信设备，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为$\frac{7}{12}$、$\frac{1}{6}$、a．
项目B：新能源汽车，根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b、c．
经测算，当投入A、B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等．
（1）求a，b，c的值；
（2）若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从风险控制角度为投资公司选择一个合理的项目，说明理由；
（3）若对项目A投资x（0≤x≤100）万元，所获得利润为随机变量Y1，；项目B投资（100-x）万元，所获得利润为随机变量Y2，记f（x）=D（Y1）+D（Y2），当x为何值时，f（x）取到最小值？最小值为多少？
（参考公式：随机变量X的方差：D（X）=$\sum_{i=1}^{n}$（x${\;}_{i}-E（X））^{2}$2pi，D（aX+b）=a2D（x））

分析 （1）由题意$\frac{7}{12}+\frac{1}{6}+a=1$，从而能求出a，设投资到项目A和B的资金都为X万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，分别求出X1、X2的分布列和数学期望，由E（X1）=E（X2），能求出b和c．
（2）当投入100万元资金时，求出X=100，E（X1）=E（X2）=20，再求出D（X1），D（X2），由此能求出结果．
（3）由${Y}_{1}=\frac{x}{100}$X1，Y2=$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$，求出f（x）=DY1+DY2=D（$\frac{x}{100}{X}_{1}$）+D（$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$），由此能求出当x=$\frac{100}{3}$时，f（x）取得最小值200．

解答 解：（1）∵获利40%、损失20%、不赔不赚这三种情况发生的概率分别为$\frac{7}{12}$、$\frac{1}{6}$、a．
∴$\frac{7}{12}+\frac{1}{6}+a=1$，
解得a=$\frac{1}{4}$，
设投资到项目A和B的资金都为X万元，
变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1的分布列为：

 X1 0.4X-0.2X 0
 P $\frac{7}{12}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{4}$
X2的分布列为：
 X2 0.3X-0.1X
 P b c
E（X1）=$0.4X•\frac{7}{12}+（-0.2X）•\frac{1}{6}+0•\frac{1}{4}=0.2X$，
E（X2）=0.3bX-0.1cX，
∵E（X1）=E（X2），∴$\left\{\begin{array}{l}{0.3b-0.1c=0.2}\\{b+c=1}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{3}{4}$，c=$\frac{1}{4}$．
综上所述，a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{4}$，c=$\frac{1}{4}$．
（2）当投入100万元资金时，由（Ⅰ）知X=100，
∴E（X1）=E（X2）=20，
D（X1）=（40-20）2×$\frac{7}{12}$+（-20-20）2×$\frac{1}{6}$+（0-20）2×$\frac{1}{4}$=600，
D（X2）=（30-20）2×$\frac{3}{4}$+（-10-20）2×$\frac{1}{4}$=300，
∵D（X1）＞D（X2），E（X1）=E（X2），
∴虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，
∴从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B．
（3）${Y}_{1}=\frac{x}{100}$X1，Y2=$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$，
∴f（x）=DY1+DY2=D（$\frac{x}{100}{X}_{1}$）+D（$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$）
=（$\frac{x}{100}$）2DX1+（$\frac{100-x}{100}$）2DX2
=$\frac{3}{100}$[2x2+（100-x）2]
=$\frac{9}{100}$（x-$\frac{100}{3}$）2+200，
∴当x=$\frac{100}{3}$时，f（x）取得最小值200．

点评 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．

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