Question

【题目】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若，则在线段上是否存在一点，使平面平面.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由得，再证平面，即可计算出三棱锥的体积；

（2）当是的三等分点时，满足条件. 作，交于，连接，可证明，进而证明平面平面.

（1）因为是等边三角形，，所以.又因为，，

所以，所以.

又，平面，，所以平面.

所以三棱锥的体积；

（2）在线段上存在一点，使平面平面.此时.

理由如下：

如图，作，交于，连接，

因为，所以是的三等分点，可得，

因为，，，

所以，因为，所以，

因为，所以，所以，

因为，所以，所以，

因为平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面，

因为，平面，所以平面平面，

所以在线段上存在一点，使平面平面.此时.