Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意得：，，解得，.

（2）由题意知：有两个零点，，

令，而.

对时和时分类讨论，解得：.经检验，合题；

（3）由题意得，，即.

所以，令，即，

令，求导，得在上单调递减，即.

，.令，求导得在上单调递减，得的取值范围.

（1），

由题意得：，即，

即，所以，.

（2）由题意知：有两个零点，，

令，而.

①当时，恒成立

所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.

②当时，令，解得：，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为有两个零点，所以，

解得：.

因为，，且，

而在上单调递减，

所以在上有1个零点；

又因为（易证），

则且，

而在上单调递增，

所以在上有1个零点.

综上：.

（3）由题意得，，即.

所以，令，即，

令，，

令，而，

所以在上单调递减，即，

所以在上单调递减，即.

因为，.

令，而恒成立，

所以在上单调递减，又，

所以.