Question

【题目】已知函数．

（1）设，当时，求函数的单调减区间及极大值；

（2）设函数有两个极值点，

①求实数的取值范围；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为，，．（2）①．②见解析

【解析】

（1）求出函数，再求出其导函数，令，解出，根据单调性和极值求法即可求解.

（2）①函数有两个极值点，即方程有两个不等实根．分离参数，转化成图像有两个交点，利用导数判定函数的单调性，即可得到实数的取值范围；②不妨设，由①知，且有，可得，将可化．再构造函数，利用导数证出，即可证明.

（1），

．

当时，．

令，解得，

当时，，为单调减函数；

当时，，为单调增函数；

当时，，为单调减函数，

函数的单调减区间为，，．

（2）①函数有两个极值点，

方程有两个不等实根．

由，显然时方程无根，．

设，则．

令，得．

当时，，为单调递增函数；

当时，，为单调递减函数．

且当时，；当时，，

．．

实数的取值范围是．

②证明：不妨设，由①知，且有

可化为．

又．

即证，

即证，即．

设，即证当时成立．

设，

，

在上为增函数．

，即成立．

成立．