Question

求证：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

，（n∈N⁺）

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：本题可以用数学归纳法证明命题：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

）成立，再用放缩法得到原命题成立．

解答： 证明：
先证：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

），（n∈N⁺） …①
（数学归纳法）
证明：（1）当n=1时，
①式左边=1-

1

3

=

2

3

，
①式右边=

1

2

(1+

1

3

)=

1

2

×

4

3

=

2

3

，
∴左边=右边，不等式①成立．
当n=2时，
①式左边=(1-

1

3

)(1-

1

32

)=

2

3

×

8

9

=

16

27

，
①式右边=

1

2

(1+

1

32

)=

1

2

×

10

9

=

5

9

=

15

27

，
∵

16

27

＞

15

27

，
∴左边＞右边，不等式①成立．
（2）当n=k（k≥2，k∈N^*）时，不等式①成立，
即（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）≥

1

2

（1+

1

3k

），（n∈N⁺）
则当n=k+1时，
有（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）（1-

1

3k+1

）≥

1

2

（1+

1

3k

）（1-

1

3k+1

）=

1

2

(1+

1

3k

-

1

3k+1

-

1

32k+1

)＞

1

2

(1+

1

3k+1

)，
即n=k+1时，不等式①也成立．
由（1）（2）知：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

），（n∈N⁺）．
∴（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

）＞

1

2

，（n∈N⁺）．
即原不等式成立．

点评：本题考查了数学归纳法和放缩法，本题的难点在于命题①呈现，思维难度大，属于难题．