Question

设T_n为数列{a_n}的前n项的积，即T_n=a₁•a₂…•a_n．
（1）若T_n=n²，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足T_n=

1

2

（1-a_n）（n∈N^*），证明数列{

1

Tn

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}共有100项，且满足以下条件：
①a₁•a₂…•a₁₀₀=2；
②a₁•a₂…•a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2（1≤k≤99，k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₅的值；
（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用作商法求a_n；
（2）利用等差数列的定义证明数列{

1

Tn

}为等差数列，并求得{a_n}的通项公式；
（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T₄，T₅，则a₅=

T5

T4

即得；
     （Ⅱ）由（Ⅰ）可得T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T_k确定，由T_k+1可得到两个a_k+1，即得符合条件的数列共有2⁹⁹个．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=T₁=1； 当n≥2时，a_n=

Tn

Tn-1

=

n2

(n-1)2

，
∴a_n=

1，n=1 n2 (n-1)2 ，n≥2

                                      …（4分）
（2）当n=1时，a₁=T₁=

1

2

（1-a₁），所以a₁=

1

3

，当n≥2时，2T_n=1-a_n=1-

Tn

Tn-1

，
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=2，数列{

1

Tn

}为等差数列             …（8分）

1

Tn

=3+2（n-1）=2n+1，T_n=

1

2n+1

，a_n=1-2T_n=

2n-1

2n+1

 …（10分）
（3）（Ⅰ）由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…•a₄+a₅•a₆…a₁₀₀=6；可得T₄=3±

7

，
由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…a₅+a₆•a₇…a₁₀₀=7，可得T₅=

7± 41

2

，
所以a₅=

T5

T4

=

7+ 41

2(3± 7)

或a₅=

7- 41

2(3± 7)

．  …（13分）
（Ⅱ）a₁+a₂…•a₁₀₀=3，所以a₁=1或2
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），
当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T_k确定，由T_k+1可得到两个a_k+1
所以符合条件的数列共有2⁹⁹个．…（18分）

点评：本题主要考查作商法求数列通项公式及利用定义证明数列为等差数列，考查利用方程组的思想解决问题的能力，综合性强，属难题．