Question

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x（单位：千元）对年销量y（单位：）和利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i（i=1，2，…，8）和年销售量y_i数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（1）根据散点图判断，$y=a+bx，y=c+d\sqrt{x}$哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（2）的结果回答下列问题；
①当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{μ}$．

Answer 1

分析 （1）由散点图成线性分布，即可得出判断；
（2）先建立y关于w的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；
（3）①由（2）计算x=90时年销售量y的预报值和年利润z的预报值，
②根据（2）的结果，利用二次函数的图象与性质即可得出x为何值时z取得最大值．

解答 解：（1）根据散点图即可得出判断，
y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，
由于$\stackrel{∧}{d}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）}^{2}}$=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
$\stackrel{∧}{c}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{d}$$\overline{x}$=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$；
（3）①由（2）知，当x=90时，年销售量y的预报值为
$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{90}$=745.7，
年利润z的预报值为
$\stackrel{∧}{z}$=745.7×0.2-90=59.14；
②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值
$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24时z取得最大值，
故宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，准确的计算是解题的关键，属中档题．