Question

已知点F（0，

1

2

），直线l：y=-

1

2

，点N为l上一动点，过N作直线l₁⊥l．l₂为NF的中垂线，l₁与l₂交于点M，点M的轨迹为曲线C
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若E为曲线C上一点，过点E作曲线C的切线交直线l于点Q，问在y轴上是否存在一定点，使得以EQ为直径的圆过该点，如果存在，求出该点坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由条件知点M的轨迹是以l为准线、F为焦点的抛物线，其方程为x²=2y．
（Ⅱ）设E（x₀，y₀），则x02=2y0，切线方程为y-y₀=x₀（x-x₀），令y=-

1

2

，得Q（

x02-1

2x0

，-

1

2

），假设存在满足条件的点H（0，t），则

OH

•

EH

=0，由此能求出存在满足条件的点H（0，a）．

解答： 解：（Ⅰ）由条件知|MN|=|MF|，即点M到l的距离等于点M到点F的距离，
∴点M的轨迹是以l为准线、F为焦点的抛物线，
其方程为x²=2y．
（Ⅱ）设E（x₀，y₀），则x02=2y0，过点E的切线的斜率为k=y′|x=x0=x₀，
∴切线方程为y-y₀=x₀（x-x₀），
令y=-

1

2

，则-

1

2

-y₀=x₀（x-x₀），
得到x=

x02-1

2x0

，∴Q（

x02-1

2x0

，-

1

2

），
假设存在满足条件的点H（0，t），则

OH

•

EH

=0，
即（

-x02+1

2x0

，t+

1

2

）（-x₀，t-y₀）
=

x02

2

-

1

2

+t2-ty0+

1

2

t-

1

2

y0
=y₀-

1

2

+t²-ty₀+

1

2

t-

1

2

y₀
=y₀-

1

2

+t²-ty₀+

1

2

t
=（

1

2

-t）y₀+t²+

1

2

t-

1

2

=0，
∵H点为定点，则需与E点无关，
∴

1 2 -t=0 t2+ 1 2 t- 1 2 =0

，解得t=0．
∴存在满足条件的点H（0，

1

2

）．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．