Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左焦点到直线x-y-2=0的距离为

3

2

2

，左焦点到左顶点的距离为

2

-1
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点M（2，0）交椭圆于A，B两点，是否存在点N（t，0），使得

AB

•

NA

=

BA

•

NB

，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设左焦点F₁（-c，0），由已知得|c+2|=3，a-c=

2

-1，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）假设存在满足条件的实数t，当直线斜率不存在时，设直线方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得x²+2k²（x-2）²=2，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识等结合已知条件能求出存在0≤t＜

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）设左焦点F₁（-c，0），
则F₁到直线x-y+2=0的距离d=

|c-2|

2

=

3

2

2

，
|c+2|=3，解得c=1或c=5（舍），
又∵a-c=

2

-1，∴a=

2

，∴b²=2-1=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）假设存在满足条件的实数t，当直线斜率不存在时，
设直线方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得x²+2k²（x-2）²=2，
整理，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=（-8k²）²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，
化简，得-16k²+8＞0，即k2＜

1

2

，
∴x1+x2=

8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

，
设AB中点为Q（x₀，y₀），则Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∴x0=

4k2

2k2+1

，y0=k(

4k2

2k2+1

-2)-

-2k

2k2+1

，
∵

AB

•

NA

=

BA

•

NB

，∴

AB

•(

NA

+

NB

)=0，
当k=0时，A（-

5

，0），B（

5

，0），

AB

•(

NA

+

NB

)=4

5

t=0，解得t=0，
当k≠0时，kNQ=

-2k 2k2+1

4k2 2k2+1 -t

=-

1

k

，
∴

2k2

4k2-t(2k2+1)

=1，解得t=

2k2

2k2+1

，
∵k2＜

1

2

，∴0＜t＜

1

2

，
∴存在0≤t＜

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量等知识点的合理运用．