题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+m+2（a＞0），
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求出导数，求出单调区间，由于f（x）在[-1，1]内没有极值点，则[-1，1]是单调区间，且为减区间，列出不等式，解出即可；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x3+2x2-4x+m+2=0，-m-2=x3+2x2-4x，有三个互不相同的解，画出曲线
y=x3+2x2-4x，直线y=-m-2，求出极值，令-m-2介于极小值和极大值之间．
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x3+2x2-4x+m+2=0，-m-2=x3+2x2-4x，有三个互不相同的解，画出曲线
y=x3+2x2-4x，直线y=-m-2，求出极值，令-m-2介于极小值和极大值之间．
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a），（a＞0），
f′（x）＞0得x＞
或x＜-a；f′（x）＜0得-a＜x＜
．
由于f（x）在[-1，1]内没有极值点，
则[-1，1]是单调区间，且为减区间，
则[-1，1]⊆（-a，
），故-a＜-1＜1＜
，
即有a＞3；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x3+2x2-4x+m+2=0，
-m-2=x3+2x2-4x，有三个互不相同的解，
画出曲线y=x3+2x2-4x，直线y=-m-2，
由于y′=3x2+4x-4=0，解得x1=-2，x2=
，
在x=-2处的导数左正右负，为极大值点，极大值为8；
在x=
处的导数左负右正，为极小值点，极小值为-
．
则有-
＜-m-2＜8，解得-10＜m＜-
．
故实数m的取值范围是(-10，-
)．
解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a），（a＞0），f′（x）＞0得x＞
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
由于f（x）在[-1，1]内没有极值点，
则[-1，1]是单调区间，且为减区间，
则[-1，1]⊆（-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
即有a＞3；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x3+2x2-4x+m+2=0，
-m-2=x3+2x2-4x，有三个互不相同的解，
画出曲线y=x3+2x2-4x，直线y=-m-2，
由于y′=3x2+4x-4=0，解得x1=-2，x2=
| 2 |
| 3 |
在x=-2处的导数左正右负，为极大值点，极大值为8；
在x=
| 2 |
| 3 |
| 40 |
| 27 |
则有-
| 40 |
| 27 |
| 14 |
| 27 |
故实数m的取值范围是(-10，-
| 14 |
| 27 |
点评：本题考查函数的导数的应用：求单调区间和求极值，考查方程的根的问题转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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