Question

10．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=$\sqrt{6}$，AC=CD=2，DE=BE=1．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD
（2）以D为原点，分别以DE，DC为x，y轴的正半轴，与CA平行的直线为z轴，求出平面ADE、平面ADB的法向量即可，

解答 证明：（1）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=$\sqrt{2}$，
由AC=2，AB=$\sqrt{6}$，得AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（2）解：由（1）得AC⊥平面BCDE，以D为原点，
分别以DE，DC为x，y轴的正半轴，与CA平行的直线为z轴，
如图，D（0，0，0），E（1，0，0），A（0，2，2），B（1，1，0），
$\overrightarrow{DA}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{DE}=（1，0，0）$．
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=2{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}={x}_{1}=0}\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow{m}=（0，1，-1$）．
设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=2{y}_{2}+2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}={x}_{2}+{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{n}=（1，-1，1）$，
∴cos  $＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角B-AD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、勾股定理与逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．