Question

1．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC⊥CD，AC=CD．当∠ABC=45°时，对角线BD的长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的值．

解答 解：设∠ACB=β，
在△ABC中，由余弦定理得AC²=4-$\sqrt{6}$，
由正弦定理可得sinβ=$\frac{1}{\sqrt{2}AC}$．
在△BCD中，DB²=BC²+CD²-2BC•CD•cos（90⁰+β）
=3+4-$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$•CD•（-sinβ）
=7-$\sqrt{6}$+$\sqrt{6}$=7
∴DB=$\sqrt{7}$
故答案为：$\sqrt{7}$

点评 本题主要考查了余弦定理，勾股定理三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．