Question

18．已知sinα-cosα=$\frac{4}{3}$，α∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，则tan2α=（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{5\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{7\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，利用二倍角公式可得sin2α和cos2α的值，从而求得tan2α的值．

解答 解：∵sinα-cosα=$\frac{4}{3}$，∴1-2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，∴2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∵α∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]，∴sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{7}{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴sinα=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，cos2α=2cos²α-1=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
则tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．