Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数，例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：
①函数f（x）=|x|（x∈R）是单函数；
②指数函数f（x）=lgx（x∈（0，+∞））是单函数；
③若x∈D且y=cosx是单函数，则D=（0，π）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；
⑤若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）．
其中的真命题是

 

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的定义及单函数的定义，我们易得单函数即一一对应的函数，进而逐一分析四个答案，即可得到答案

解答： 解：对于①，若f（x）=|x|，则f（x₁）=f（x₂）时x₁=x₂，或x₁=-x₂，故①错误；
对于②，f（x）=lgx是R上的增函数，当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，故②正确；
对于③，x∈D且y=cosx是单函数，则D=（0，π）；或D=（-π，0）也可以，故③错误；
对于④，假若f（x₁）=f（x₂）时有x₁≠x₂，这与单调函数矛盾，故④正确；
对于⑤，若f（x）为单函数，x₁、x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），则根据逆否命题的等价性可知，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查的知识点是命题真假的判断与应用，其中正确理解单函数的定义，是解答本题的关键．