Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；
（2）设数列{x_n}满足xnexn+1=exn-1且x₁=1，证明：{x_n}单调递减且xn＞

1

2n

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可证明当x＞0时，f（x）＜0；
（2）首先用数学归纳法证明xn＞

1

2n

，再结合exn-1＜x_nexn，即可证明：{x_n}单调递减．

解答： 证明：（1）因为f（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
当x＞0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因此f（x）＜f（0）=0．                               …2分
（2）首先用数学归纳法证明x_n＞

1

2n

．
①当n=1时，1₁=1＞

1

2

，所以x₁＞

1

2

成立．
②假设n=k时，x_k＞

1

2k

．
那么当n=k+1时，xnexn+1=exn-1，则exk+1=

exk-1

xk

，…4分
当x＞0时，由不等式e^x-1＞x得

ex-1

x

＞1且g（x）=

ex-1

x

在（0，+∞）单调递增，
∵x_k＞

1

2k

，
∴exk+1=

exk-1

xk

＞

e 1 2k -1

1 2k

＞

1

2k+1

．
所以x_k+1＞

1

2k+1

．
由①②可知对任意的正整数n，总有x_n＞

1

2n

．
由（1）知（1-x_n）exn-1＜0，所以exn-1＜x_nexn．
由xnexn+1=exn-1知x_n+1＜x_n．       
所以{x_n}单调递减  …10分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．