Question

设函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（1）证明：当x＞0时，f（x）＜0；
（2）设a₁=1，a_nean+1=ean-1，证明对任意的正整数n，总有a_n+1＜a_n．

Answer 1

考点：数学归纳法,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可证明当x＞0时，f（x）＜0；
（2）首先用数学归纳法证明a_n＞0，再结合ean-1＜a_nean，即可证明a_n+1＜a_n．

解答： 证明：（1）因为f（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
当x＞0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因此f（x）＜f（0）=0．                               …2分
（2）首先用数学归纳法证明a_n＞0．
①当n=1时，a₁=1＞0，∴a_n＞0成立．
②假设n=k时，a_k＞0．
那么当n=k+1时，a_nean+1=ean-1，则eak+1=

eak-1

ak

，…4分
当x＞0时，由不等式e^x-1＞x得

ex-1

x

＞1．
所以eak+1＞1，a_k+1＞0．
由①②可知对任意的正整数n，总有a_n＞0．
由（1）知（1-a_n）ean-1＜0，所以ean-1＜a_nean．
由a_nean+1=ean-1知a_nean+1＜a_nean，所以a_n+1＜a_n．         …10分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．