题目内容

已知A+B=
5
4
π，且A，B≠kπ+
π
2
（k∈Z），求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．
考点：两角和与差的正切函数
专题：三角函数的求值
分析：由条件利用两角和的正切公式可得tan（A+B）=1=
tanA+tanB
1-tanAtanB
，即tanA+tanB=1-tanAtanB，化简可得要证的结论成立．
解答： 证明：∵A+B=
5
4
π，且A，B≠kπ+
π
2
（k∈Z），
∴tan（A+B）=tan
5π
4
=1=
tanA+tanB
1-tanAtanB
，∴tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴1+tanA+tanB+tanAtanB=2，即（1+tanA）（1+tanB）=2．
点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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在（
42
x+
1
2
）15的展开式中，系数是有理数的项共有（　　）
A、4项B、5项C、6项D、7项
在△ABC中b=4，B=45°，C=75°，则a=（　　）
A、2
6
B、2
3
C、2+2
6
D、2+2
3
若圆C的圆心坐标为（2，-3），且圆C经过点M（5，-7），则圆C的半径为（　　）
A、
5
B、5
C、25
D、
10
已知f（x）=2-
1
x+1
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一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：
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已知函数f（x）=xa•lnx，其中a∈Z．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
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1
x
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x1+x2
2
）与
f(x1)+f(x2)
2
的大小．
阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ           …①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ          …②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ  …③
令α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值．
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA+cosB=2cos
A+B
2
•cos
A-B
2
．
（3）求函数y=cos2x•cos（2x+
π
6
）x∈[0，
π
4
]的最大值．

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