Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点
（Ⅰ）求二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）在B₁C上是否存在点P，使PB∥平面B₁ED，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）设P（2，λ，2-λ），则

PB

=(0，-λ，λ-2)，利用向量法能求出P是B₁C的中点时，PB∥平面B₁ED．

解答： 解：（Ⅰ）如图，（Ⅰ）建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则有A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，0，0），B₁（2，0，2）

B1E

=(-1，0，-2)，

ED

=(-1，2，0)，
设平面B₁ED的法向量

n

=（a，b，c），
则

n • B1E =0 n • ED =0

，即

a+2c=0 a-2b=0

，取a=2，
则b=1，c=-1，

n

=（2，1，-1）

B1E

=(-1，0，-2)，

EC

=(1，2，0)，
设平面B₁EC的法向量

m

=（x，y，z）
由

m • B1E =0 m • EC =0

，得，

x+2z=0 x+2y=0

，取x=2，则y=z=-1，

m

=（2，-1，-1）
设二面角D-B₁E-C的平面角为θ，知0＜θ＜

π

2

，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

4-1+1

6 • 6

|=

2

3

．
（Ⅱ）设P（2，λ，2-λ），则

PB

=(0，-λ，λ-2)
∵PB?平面B₁ED，∴当且仅当

n

⊥

PB

，即

n

•

PB

时，PB∥平面B₁ED
∴-λ-（λ-2）=0，λ=1，∴P（2，1，1），
即P是B₁C的中点时，PB∥平面B₁ED．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查使直线与平面平行的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．