题目内容
函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-
．若关于x的方程f（x）=k有三个根，则实数k的取值范围 ．
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考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：根据函数的极值，求出a，b，从而确定函数f（x）的表达式，求出函数的极值，利用数形结合即可得到结论．
解答：
解：当x=2时，函数f（x）有极值-
．
则f（2）=-
，且f′（2）=0．
∵f（x）=ax3-bx+4，
∴f′（x）=3ax2-b，
则
，
解得
，即f（x）=
x3-4x+4，f′（x）=x2-4，
当f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0得-2＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=-2时，函数取得极大值f（-2）=
，
当x=2时，函数f（x）有极小值-
．
要使关于x的方程f（x）=k有三个根，
则-
＜k＜
，
故答案为：（-
，
）．
解：当x=2时，函数f（x）有极值-| 4 |
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则f（2）=-
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∵f（x）=ax3-bx+4，
∴f′（x）=3ax2-b，
则
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解得
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当f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0得-2＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=-2时，函数取得极大值f（-2）=
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当x=2时，函数f（x）有极小值-
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要使关于x的方程f（x）=k有三个根，
则-
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故答案为：（-
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点评：本题主要考查函数极值的应用和判断，利用方程和函数之间的关系，结合数形结合是解决本题的关键．
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