Question

12．已知函数f（x）=ax²+ax+2．
（1）对任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）若对于a∈[-1，1]，f（x）＜-a+5恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得ax²+ax+2＞0恒成立，对a讨论，分a=0，a＞0且判别式小于0，当a＜0，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得ax²+ax+2＜-a+5，在a∈[-1，1]恒成立，即有a（x²+x+1）-3＜0，令g（a）=a（x²+x+1）-3，a∈[-1，1]，则g（-1）＜0，且g（1）＜0，解不等式组求交集，即可得到所求范围．

解答 解：（1）对任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，
即为ax²+ax+2＞0恒成立，
可得当a=0时，2＞0恒成立；
当a＞0，判别式△=a²-8a＜0，解得0＜a＜8，
当a＜0时，ax²+ax+2＞0不恒成立．
综上可得a的范围是0≤a＜8；
（2）对于a∈[-1，1]，f（x）＜-a+5恒成立，
即为ax²+ax+2＜-a+5，在a∈[-1，1]恒成立，
即有a（x²+x+1）-3＜0，
令g（a）=a（x²+x+1）-3，a∈[-1，1]，
则g（-1）＜0，且g（1）＜0，
即有-（x²+x+1）-3＜0，且（x²+x+1）-3＜0，
即为x∈R且-2＜x＜1，
则x的范围是（-2，1）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查构造函数法的运用，以及运算能力，属于中档题和易错题．