Question

20．已知函数f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln$\sqrt{2x+1}$-4e^a-x（其中e为自然对数的底数），若存在实数x₀，使f（x₀）-g（x₀）=4成立，则实数a的值为（　　）

• A． ln2-1
• B． 1-ln2
• C． ln2
• D． -ln2

Answer 1

分析 求出f（x）-g（x）的解析式，令h（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，结合不等式的性质求出对应的a的值即可．

解答 解：由函数f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln$\sqrt{2x+1}$-4e^a-x，
得f（x）-g（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1）+e^x-a+4e^a-x．
令h（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1），则h′（x）=1-$\frac{1}{2x+1}$，
知h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（0）=0．
又e^x-a+4e^a-x≥2 $\sqrt{{e}^{x-a}•4{e}^{a-x}}$=4，
∴f（x）-g（x）≥4．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{e}^{x-a}=4{e}^{a-x}}\end{array}\right.$，即x=0，a=-ln2．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是中档题．