Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点$P（1，\frac{3}{2}）$和动点Q（m，n）都在离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．
①若m=-1，求点T的坐标；
②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．

Answer 1

分析 （1）由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2c，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}c$，点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；
（2）①设$T（t，-\frac{3m}{4n}t）$，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：$（\frac{{9{m^2}}}{{16{n^2}}}+1）{t^2}-\frac{1}{2}mt+{m^2}+{n^2}-4=0$，将Q点代入椭圆方程，${m^2}=4-\frac{{4{n^2}}}{3}$，代入$t=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}$，由m=-1，即可求得T点坐标；②由①可知，$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，利用斜率公式可知：k_QT=$\frac{n}{m-1}$，直线QT的方程为$y-n=\frac{n}{m-1}（x-m）$，即$y=\frac{n}{m-1}（x-1）$，
直线QT过定点（1，0）．

解答 解：（1）由题意，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=2c，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}c$，
∵点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
∴$\frac{1^2}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，
解得：c=1，
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；　 …（5分）
（2）①设$T（t，-\frac{3m}{4n}t）$，其中0＜t＜2，
∵|QT|=2，
∴$\sqrt{{{（m-t）}^2}+{{[n-（-\frac{3m}{4n}t）]}^2}}=2$，
即$（\frac{{9{m^2}}}{{16{n^2}}}+1）{t^2}-\frac{1}{2}mt+{m^2}+{n^2}-4=0$，（*）            …（7分）
∵点Q（m，n）在椭圆上，
∴$\frac{m^2}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，则${m^2}=4-\frac{{4{n^2}}}{3}$，代入（*）式，
得$（\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}）{t^2}-\frac{1}{2}mt-\frac{1}{3}{n^2}=0$，$△={（-\frac{1}{2}m）^2}-4（\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}）（-\frac{1}{3}{n^2}）=4$，
∴$t=\frac{{\frac{1}{2}m+2}}{{2×\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}}}=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}＞0$或$t=\frac{{\frac{1}{2}m-2}}{{2×\frac{{9+{n^2}}}{{4{n^2}}}}}＜0$，
∵0＜t＜2，
∴$t=\frac{{4{n^2}}}{12-3m}$，…（9分）
∴$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，
由题意，m=-1，
∴$\frac{{{{（-1）}^2}}}{4}+\frac{n^2}{3}=1$，
∵n＞0，
∴$n=\frac{3}{2}$，
则T点坐标，$T（\frac{3}{5}，\frac{3}{10}）$…（11分）
②证明：由①可知，$T（\frac{{4{n^2}}}{12-3m}，-\frac{mn}{4-m}）$，
∴直线QT的斜率${k_{QT}}=\frac{{n-（-\frac{mn}{4-m}）}}{{m-\frac{{4{n^2}}}{12-3m}}}=\frac{12n}{{12m-（3{m^2}+4{n^2}）}}=\frac{12n}{12m-12}=\frac{n}{m-1}$，…（13分）
∴直线QT的方程为$y-n=\frac{n}{m-1}（x-m）$，
即$y=\frac{n}{m-1}（x-1）$，
∴直线QT过定点S（1，0）． …（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．