Question

函数f（x）=

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3

x³-alnx-x²在区间（1，3）内不存在极值点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：函数f（x）=

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3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内不存在极值点?函数f（x）在（1，3）内单调?函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．

解答： 解：函数f（x）=

1

3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内不存在极值点
?函数f（x）=

1

3

x³-alnx-x²（a∈R）在（1，3）内单调
?函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（1，3）内恒成立．
由f′（x）=x²-

a

x

-2x≥0在（1，3）内恒成立
?a≤（x³-2x²）_min，x∈（1，3）．即a≤-

32

27

，
由f′（x）=x²-

a

x

-2x≤0在（1，3）内恒成立
?a≥（x³-2x²）_max，x∈（1，3）．即a≥9，
故答案为：a≤-

32

27

或a≥9．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．