Question

已知PA、PB、PC是三棱锥P-ABC的三条棱，PA=PB=PC，且PA，PB，PC夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：由已知得三棱锥P-ABC是正四面体，设这个正四面体的棱长为2，作PO⊥平面ABC，交ABC于点O，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．

解答： 解：∵PA、PB、PC是三棱锥P-ABC的三条棱，
PA=PB=PC，且PA，PB，PC夹角都是60°，
∴三棱锥P-ABC是正四面体，
设这个正四面体的棱长为2，作PO⊥平面ABC，交ABC于点O，
则PO=

( 4-1 )2-( 4-1 3 )2

=

2 6

3

，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则P（0，0，

2 6

3

），C（-1，

3

3

，0），
A（0，-

2 3

3

，0），B（1，

3

3

，0），

PC

=（-1，

3

3

，-

2 6

3

），

PA

=（0，-

2 3

3

，-

2 6

3

），

PB

=（1，

3

3

，-

2 6

3

），
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • PA =- 2 3 3 y- 2 6 3 z=0 n • PB =x+ 3 3 y- 2 6 3 z=0

，取z=1，得

n

=（

6

，-

2

，1），
设直线PC与平面PAB所成角为θ，
sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

2 6

2×3

=

6

3

．
∴cosθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

．
∴直线PC与平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．
故选：D．

点评：本题考查线面平行，线面垂直的性质的应用，考查线面所成角的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用，是中档题．