Question

9．已知A₁，A₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A₁A₂为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A₁MN的面积为$\frac{a^2}{2}$，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A₁（-a，0）到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A₁MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，设以A₁A₂为直径的圆与双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x交于M，N两点，
则A₁（-a，0）到直线y=$\frac{b}{a}$x的距离d=$\frac{丨a×0-b×a丨}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
△A₁MN的面积S=$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{ab}{c}$=$\frac{{a}^{2}b}{c}$=$\frac{a^2}{2}$，整理得：b=$\frac{1}{2}$c，
则a²=b²-c²=$\frac{3}{4}$c²，即a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．