Question

17．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，且过点$M（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$，其离心率为e，抛物线C₂的顶点为坐标原点，焦点为$（{\frac{e}{2}，0}）$．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=12．
（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标； （ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）根据双曲线的渐近线方程求得b=$\sqrt{3}$a，将M代入双曲线方程，即可求得a和b的值，求得双曲线方程，求得离心率，求得抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线方程；
（II）（i）将直线AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t的值，即可求得直线AB过定点P（6，0）；
（ii）由（i）及弦长公式求得丨AB丨及丨CD丨，根据四边形的面积公式及函数单调性，即可求得四边形ACBD面积的最小值．

解答 解：（I）由双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$a，
将$M（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$代入椭圆方程：$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{3}{3{a}^{2}}=1$，解得：a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
∴双曲线的标准方程：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=2，
∴焦点为（1，0），
∴抛物线C₂的方程y²=4x；
（II）（i）证明：设直线AB的方程x=my+t，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4t=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=12．则$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}$+y₁y₂=12，解得：y₁y₂=-24或y₁y₂=8（舍去），
即-4t=-24，解得：t=6，
∴直线AB过定点P（6，0）；
（ii）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由（i）可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+96}$，
同理可得：丨CD丨=$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+96}$，
则四边形ACBD面积S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨CD丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{16{m}^{2}+96}$×$\sqrt{1+（-\frac{1}{m}）^{2}}$$\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+96}$
=8$\sqrt{[2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）][37+6（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=μ，（μ≥2），则S=8$\sqrt{6{μ}^{2}+49μ+74}$，在μ∈[2，+∞）上是增函数，
故S_min=112，当且仅当m=±1时取最小值为112．
四边形ACBD面积的最小值为112．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查函数的单调性与最值，考查计算能力，属于中档题．