Question

已知双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的离心率为e，焦点为F的抛物线y²=2px与直线y=k（x-

p

2

）交于A，B两点，且

丨AF丨

丨BF丨

=e，则k的值为（　　）

• A、2

  2

• B、2

  3

• C、±2

  2

• D、±2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，可求得e=2，由

y2=2px y=k(x- p 2 )

可求得关于y的一元二次方程，结合

丨AF丨

丨BF丨

=2可求得A、B两点纵坐标之间的关系，消掉它即可求得k的值．

解答： 解：双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的离心率为e=

4+12

2

=2．
由

y2=2px y=k(x- p 2 )

消去x得：y²-

2p

k

y-p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y1+y2= 2p k …① y1y2=-p2…②

，
又

丨AF丨

丨BF丨

=2，F（

p

2

，0），
∴0-y₁=2（y₂-0），
∴y₁=-2y₂代入①得：y₂=-

2p

k

；③
把y₁=-2y₂代入②得：y₂²=

p2

2

；④
对③两端平方得：y₂²=

4p2

k2

⑤．
由④⑤得：k²=8．
∴k=±2

2

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的性质，考查直线与抛物线的位置关系及应用，考查转化思想与方程思想，属于中档题．