Question

直线l：y=

k

（x-2）与曲线E：y²=16x  交于不同的两点M、N，当

AM

•

AN

≥68时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线方程和抛物线方程，得：kx²-（4k+16）x+4k=0，根据方程有两个不等的根，结合韦达定理和向量的数量积的坐标表示，可得k的范围，进而可求θ的范围．

解答： 解：由

y= k (x-2) y2=16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0
由

△=(4k+16)2-16k2＞0 k＞0

，
解得：k＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

4k+16

k

，x₁x₂=4，
∴

AM

•

AN

=（x₁+4，y₁）•（x₂+4，y₂）=（x₁+4）（x₂+4）+y₁y₂
=（k+1）x₁x₂+（4-2k）（x₁+x₂）+16+4k=

64

k

+4≥68，
∴0＜k≤1，即有0＜tanθ≤1，
由于0≤θ＜π
∴θ∈（0，

π

4

]．

点评：本题考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．