Question

19．已知两个非零向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（2，-8），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（-6，-4），求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的数量积和$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算与数量积运算，利用方程组求出$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$以及|$\overrightarrow a$|、|$\overrightarrow{b}$|的值，再求$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow b$夹角的余弦值．

解答 解：∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（2，-8），$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（-6，-4），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-b²=2×（-6）-8×（-4）=20，…①
${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=2²+（-8）²=68，…②
${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=（-6）²+（-4）²=52；…③
由①、②、③组成方程组，
解得$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=40，${\overrightarrow{b}}^{2}$=20；
所以|$\overrightarrow a$|=2$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$；
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow b$的夹角θ的余弦值为
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{10}×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查了平面向量的数量积与坐标运算的应用问题，属于基础题．