Question

9．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜，用a_n，b_n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a₁=300，则：
（1）求a₂的值；
（2）判断数列{a_n-300}是否常数数列，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=300，得b₁=500-300=200，由此能求出a₂．
（2）依题意$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+1}}=\frac{4}{5}{a_n}+\frac{3}{10}{b_n}}\\{{a_n}+{b_n}=500}\end{array}}\right.$，从而${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+150$，由此能推导出数列{a_n-300}为常数数列．

解答 解：（1）∵a₁=300，∴b₁=500-300=200，
∴a₂=300×0.8+200×0.3=300．
（2）依题意得，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+1}}=\frac{4}{5}{a_n}+\frac{3}{10}{b_n}}\\{{a_n}+{b_n}=500}\end{array}}\right.$，
消去b_n得：${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+150$，
∴${a_{n+1}}-300=\frac{1}{2}（{{a_n}-300}），n∈{N_+}，{a_1}=300$，
从而a_n=300．
∴数列{a_n-300}为常数数列．

点评 本题考查第二项的求法，考查数列是否为常数数列的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系．