Question

18．在一梯形中作两条对角线，并联结它们的中点，所得的线段与下底再构成一个梯形，如此重复1975次，最后得到的梯形上底边长恰好与原来的梯形上底边长相等．若原梯形高为h，上底边长为a，求原梯形的面积．

Answer 1

分析 设上底边长为b，确定第n次，得到的梯形上底边长为a_n，利用重复1975次，最后得到的梯形上底边长恰好与原来的梯形上底边长相等，求出b，即可求原梯形的面积．

解答 解：设上底边长为b，第n次，得到的梯形上底边长为a_n，a₁=$\frac{1}{2}$（b-a）
则2a_n=b-a_n-1，
∴2（a_n-$\frac{1}{3}$b）=-（a_n-1-$\frac{1}{3}$b），
∴a_n-$\frac{1}{3}$b=$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
∴a_n=$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{3}$b
∵重复1975次，最后得到的梯形上底边长恰好与原来的梯形上底边长相等，
∴$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{3}$b=a
∴$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{1974}$=$\frac{3a-b}{3}$，
∴b=3a，
∴原梯形的面积$\frac{a+3a}{2}•h$=2ah．

点评 本题考查归纳推理，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．