题目内容
19．若a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为，8．分析 a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，可得a+b≥$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=2（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$），再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$，
∴a+b≥$\frac{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=2（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）≥2×$（2+2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{a}{b}}）$=8，当且仅当a=b=$\frac{1}{4}$时取等号．
故答案为：8．
点评 本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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3．定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）的对称轴为x=1，f（x+1）=$\frac{4}{f（x）}$（f（x）≠0），且在区间（1，2）上单调递减，已知α、β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（ ）
| A． | f（sinα）＞f（cosβ） | B． | f（sinα）＜f（cosβ） | ||
| C． | f（sinα）=f（cosβ） | D． | 以上情况均有可能 |
11．若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（ ）
| A． | 若a＞b，则ac2＞bc2 | B． | 若a＜b＜0，则a2＞ab | C． | 若a＜b，则$\frac{1}{a}$$＞\frac{1}{b}$ | D． | 若a＞b＞0，则$\frac{b}{a}$$＞\frac{a}{b}$ |