Question

14．设函数$f（x）=\frac{1}{2}（x-2a）+\frac{lnx}{x}$（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）曲线y=xf（x） 是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可令h（x）=x²+2-2lnx，再求导数和单调区间，可得最小值，即可判断f（x）的单调性；
（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，求出y=xf（x）的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，代入原点，可得$\frac{1}{2}$m²-lnm+1=0，（*），记$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1（x＞0）$，求出导数，判断单调性，即可得到方程解的情况．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{2}+\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{{{x^2}+2-2lnx}}{{2{x^2}}}$，
令h（x）=x²+2-2lnx，则$h'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{{{x^{\;}}}}$，
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
h（x）_min=h（1）=3＞0，
即当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0
所以，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
（2）不妨设曲线y=x•f（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，
则有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x-a+$\frac{1}{x}$，
可得切线的斜率为k=m-a+$\frac{1}{m}$，
切线的方程为y-（$\frac{1}{2}$m²-am+lnm）=（m-a+$\frac{1}{m}$）（x-m），
代入（0，0），化为$\frac{1}{2}$m²-lnm+1=0，（*）
记$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1（x＞0）$，则$g'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}$，
令g'（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，
∴$g（1）=\frac{3}{2}$是g（x）的最小值，即当x＞0时，$\frac{1}{2}{x^2}-lnx+1≥\frac{3}{2}$．
由此说明方程（*）无解，
∴曲线y=f（x）没有经过原点的切线．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和切线的方程，考查存在性问题的解法，注意运用构造法，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．