Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，通过解方程组可求得a₁与q，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法可求得数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由

a

2 3

=4a2a6⇒

a

2 3

=4

a

2 4

，所以q2=

1

4

．
由条件可知q＞0，故q=

1

2

．
由a1+2a2=1⇒a1+2a1•q=1⇒a1=

1

2

．
故数列{a_n}的通项公式为an=a1•qn-1=

1

2n

．
（Ⅱ）bn=log2an=log2(

1

2

)n=-n，故an•bn=-n•(

1

2

)n
从而S_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n-1•b_n-1+a_n•b_n=-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n]
故

1

2

Sn=-[1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1]
两式相减得

1

2

Sn=-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]=-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n•(

1

2

)n+1=

n+2

2

•(

1

2

)n-

1

2

所以数列{a_n•b_n}的前n项和Sn=(n+2)•(

1

2

)n-1．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．