Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，D为AC的中点
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁
（2）求证：BD⊥AC₁
（3）求直三棱柱的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，由已知条件推导出BD∥OB₁，从而平面AOB₁∥平面BDC₁，由此能证明AB₁∥平面BDC₁．
（2）由线面垂直得A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁，从而BC₁⊥平面A₁B₁C，进而BC₁⊥A₁C，由等腰直角三角形性质得BD⊥AC，由此能证明BD⊥AC₁．
（3）直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，由此能求出其体积．

解答： （1）证明：取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，
∵D为AC的中点，∴四边形DAOC₁为平行四边形，
∴AO∥C₁D，又四边形BDOB₁为平行四边形，
∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）证明：∵由三视图知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁．
（3）解：由三视图知：直三棱柱的高为2，
底面是直角边长为2的等边三角形，
∴体积V=

1

2

×2×2×2=4．

点评：本题考查了线面平行的判定，线线垂直的判定，考查了棱柱的体积计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力．