Question

10．设a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．证明：
（1）设$M=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，$N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$，求证M=N
（2）a²+a＜2与b²+b＜2不可能同时成立．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出ab=1，然后利用1的代换，化简N推出等于M即可．
（2）利用反证法，假设a²+a＜2与b²+b＜2同时成立，推出ab＜1，这与ab=1矛盾，说明不等式成立．

解答 证明：（1）由a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$，a＞0，b＞0，得ab=1．
$N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$=$\frac{a}{a+ab}+\frac{b}{b+ab}$=$\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}$=M
  所以得证M=N…（5分）
（2）假设a²+a＜2与b²+b＜2同时成立，
则由a²+a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab=1矛盾．
故a²+a＜2与b²+b＜2不可能同时成立…（10分）

点评 本题考查等式以及不等式的证明，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．