Question

2．求曲线f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2处的切线与x轴交点A的坐标．

Answer 1

分析 求出函数的导数，可得曲线在x=2处切线的斜率，求得切点，运用点斜式方程，再由y=0，可得交点A．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$的导数为f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，
可得曲线f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2处的切线斜率为f′（2）=$\frac{-3}{{e}^{4}}$，
切点为（2，$\frac{2}{{e}^{4}}$），
则曲线f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$在x=2处的切线方程为y-$\frac{2}{{e}^{4}}$=$\frac{-3}{{e}^{4}}$（x-2），
可令y=0，则x=$\frac{8}{3}$．
即有切线与x轴交点A的坐标为（$\frac{8}{3}$，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，注意运用导数的运算法则和直线的点斜式方程，考查运算能力，属于基础题．