Question

7．已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）对于任意x∈R都有a（x+3）≥f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义，分类讨论解不等式f（x）≤1；
（2）对于任意x∈R都有a（x+3）≥f（x）成立，数形结合求实数a的取值范围．

解答 解：（1）x≤-2时，x-4≤1，得x≤5，∴x≤-2；
-2＜x＜1时，3x≤1，得x≤$\frac{1}{3}$，∴-2＜x≤$\frac{1}{3}$；
x≥1时，-x+4≤1，得x≥3，∴x≥3，
综上所述，不等式的解集是{x|x$≤\frac{1}{3}$或x≥3}；
（2）函数f（x）的图象如图所示，
∵y=a（x+3）过（-3，0），且在函数y=f（x）的图象的上方，过（-3，0），（1，3）的斜率为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$≤a≤1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查数形结合的数学思想，属于中档题．