Question

12．已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{13.5-\frac{1}{30}{x}^{2}（0＜x≤10）}\\{\frac{168}{x}-\frac{2000}{3{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$
（Ⅰ）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据年利润=年销售收入-年总成本，可得年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．

解答 解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=x（13.5-$\frac{1}{30}$x²）-20-5.4x=8.1x-$\frac{1}{30}$x³-20，
当x＞10时，y=（$\frac{168}{x}$--$\frac{2000}{3{x}^{2}}$）x-20-5.4x=148-2（$\frac{1000}{3x}$+2.7x），
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{8.1x-\frac{1}{30}{x}^{3}-20，0＜x≤10}\\{148-2（\frac{1000}{3x}+2.7x），x＞10}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）①当0＜x≤10时，y′=8.1-$\frac{1}{10}$x²，令y′=0可得x=9，
x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10]时，y′＜0，
∴x=9时，y_max=28.6万元；
②当x＞10时，y=148-2（$\frac{1000}{3x}$+2.7x）≤148-120=22（万元）
（当且仅当x=$\frac{100}{9}$时取等号）…（10分）
综合①②知：当x=9时，y取最大值…（11分）
故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大…（12分）

点评 本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．