Question

命题p：“对?x∈R，x²-2x+m≥0恒成立”，命题q：“方程

x2

m-4

+

y2

6-m

=1表示双曲线”．
（1）若p为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∧q是假命题，p∨q是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,函数恒成立问题,双曲线的标准方程

专题：简易逻辑

分析：（1）先根据二次函数的图象求出命题p，为真命题时参数m的范围，根据p为假命题，求实数m的取值范围；
（2）先根据二次函数的图象及双曲线的方程满足条件求出命题p，q为真命题时参数m的范围，根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，由已知“p∧q是假命题，p∨q是真命题”得出p真q假或p假q真，求出m的范围．

解答： 解：（1）若命题p真：
4-4m≤0解得m≥1，
∵p为假命题，
∴m＜1，
∴实数m的取值范围为m＜1，
（2）若命题p真：
4-4m≤0解得m≥1，
若命题q真：（m-4）（6-m）＜0
∴m＞6或m＜4
∵p∧q是假命题，p∨q是真命题
∴p真q假或p假q真，
∴

m≥1 4≤m≤6

或

m＜1 m＜4或m＞6

解得m＜1或4≤m≤6
∴实数m的取值范围m＜1或4≤m≤6

点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，解决这类问题的关键是先求出两个简单命题为真命题时参数的范围，属于中档题．