Question

已知偶函数f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），若当x∈（-3，-2）时，f（x）=5x，则f（201.5）=

 

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Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据恒等式和偶函数的定义令x=-3代入求出f（3）=0，从而求出函数的周期是6，再利用赋值法进行转化

解答： 解：由题意知，f（x+6）=f（x）+f（3）并且函数是偶函数，
令x=-3代入上式得：f（-3+6）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0
∴f（x+6）=f（x），
∴函数 f（x）的周期是6．
∴f（201.5）=f（34×6-2.5）=f（-2.5）=5×（-2.5）=-12.5，
故答案为：-12.5

点评：本题是一道抽象函数问题，题目的设计“小而巧”，解题的关键是巧妙的赋值，利用其奇偶性和所给的关系式得到函数的周期性，再利用周期性求函数值．