Question

在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）

	几何证明选讲	坐标系与参数方程	不等式选讲	合计
男同学	12	4	6	22
女同学	0	8	12	20
合计	12	12	18	42

（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）

	几何类	代数类	总计
男同学	16	6	22
女同学	8	12	20
总计	24	18	42

据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？
（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．
①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

考点：线性回归方程,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．
（2）①令事件A为“这名学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；
②记抽取到数学科代表的人数为X，由题X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）由表中数据得K²的观测值k=

42×(16×12-8×6)2

24×18×20×22

=

252

55

≈4.582＞3.841．…（2分）
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．   …（4分）
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（A∩B）=

C 3 3

C 3 18

，P（A）=

C 2 17

C 3 18

．
所以P（B|A）=

P(A∩B)

P(A)

=

C 3 3

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．…（7分）
方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，
则P（C）=

C 2 2

C 2 17

=

2

17×16

=

1

136

．
②由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）=

C 3 16

C 3 18

=

35

51

；P（X=1）=

C 2 16 C 1 2

C 3 18

=

5

17

；P（X=2）=

C 1 16 C 2 2

C 3 18

=

1

51

．
从而X的分布列为

X	0	1	2
P	35 51	5 17	1 51

…（10分）
于是E（X）=0×

35

51

+1×

5

17

+2×

1

51

=

17

51

=

1

3

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．