Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3（n＞2，且n∈N^*），
（1）求证数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+3=2（a_n-1+3），a₁+3=4，由此能证明数列{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列．（2）由（1）知an+3=4×2n-1=2n+1，由此能求出an=2n+1-3．
（3）由（2）知Sn=22+23+…+2n+1-3n，由此利用分组求和法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3（n≥2，且n∈N^*），
∴a_n+3=2（a_n-1+3），a₁+3=4，（2分）
∴

an+3

an-1+3

=2，n≥2，
∴数列{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）
（2）解：∵数列{a_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，（5分）
∴an+3=4×2n-1=2n+1，（8分）
an=2n+1-3．（10分）
（3）解：∵an=2n+1-3．
∴Sn=22+23+…+2n+1-3n（12分）
=

4(1-2n)

1-2

-3n
=2ⁿ⁺²-3n-4．（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．