Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P（1，$\frac{3}{2}$）与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（均不在坐标轴上）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，若△AOB的面积为$\sqrt{3}$，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，c=1，则a²=b²+1，将P（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，求得m²＜4k²+3．则丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$，则S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$，即可求得4k²-m²=m²-3，k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=-$\frac{3}{4}$，直线OA与OB的斜率之积为定值-$\frac{3}{4}$．

解答 解：（1）由题意知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，c=1，则a²=b²+1，

由P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，则$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，则a²=4，
∴椭圆C的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）²+8kmx+4m²-12=0，
由△=（8km）²-16（4k²+3）（m²-3）＞0，得m²＜4k²+3．
∵x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{8km}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|m|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}$•|m|•$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{4{k}^{2}+3-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+3}$=$\sqrt{3}$，
化简得4k²+3-2m²=0，满足△＞0，
从而有4k²-m²=m²-3，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}+m）（{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-12{k}^{2}+3{m}^{2}}{4{m}^{2}-12}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，由上式，得$\frac{4{k}^{2}-{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$=1，
∴k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，
∴直线OA与OB的斜率之积为定值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形面积公式与直线的斜率公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．