Question

（1）求经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程；
（2）过圆x²+（y-2）²=4外一点A（2，-2），引圆的两条切线，切点为T₁，T₂，求直线T₁T₂的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设出圆心的坐标为（a，-2a），利用两点间的距离公式表示出圆心到A的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x+y=1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（2）设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把A点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可．

解答： 解：（1）设所求圆心坐标为（a，-2a）
由条件得

(a-2)2+(-2a+1)2

=

|a-2a-1

2

，化简得a²-2a+1=0，
∴a=1，
∴圆心为（1，-2），半径r=

2

∴所求圆方程为（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）设切点为T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂），
则AT₁的方程为x₁x+（y₁-2）（y-2）=4，AT₂的方程为x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
把A（2，-2）分别代入求得2x₁-4（y₁-2）=4，2x₂-4（y₂-2）=4
∴2x-4（y-2）=4，化简得x-2y+2=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程公式，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．