Question

已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

x=tcosα y=tsinα

（t为参数，α为直线l的倾斜角，圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．
（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求α的值；
（Ⅱ）若直线l与圆C有公共点，求α的范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数t，化为直角坐标方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程．再根据圆心（4，0）到直线的距离等于半径，解得tanα的值，结合α为直线l的倾斜角，可得α的值．
（Ⅱ）直线l与圆C有公共点，可得0≤

|4tanα-0|

tan2α+1

≤2，求得tanα的范围，可得 α的范围．

解答： 解：（Ⅰ）将方程

x=tcosα y=tsinα

（t为参数）消去参数t，化为直角坐标方程为 y=tanα•x，
把圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0化为直角坐标方程为 （x-4）²+y²=4．
再根据圆心（4，0）到直线的距离等于半径，可得d=

|4tanα-0|

tan2α+1

=r=2，
解得tanα=±

3

3

．
结合α为直线l的倾斜角，可得α=

π

6

，或α=

5π

6

．
（Ⅱ）直线l与圆C有公共点，∴d≤r，即0≤

|4tanα-0|

tan2α+1

≤2，
解得-

3

3

≤tanα≤

3

3

，∴α∈[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．