Question

已知数列{b_n}前n项和Sn=

3

2

n2-

1

2

n．数列{a_n}满足

a

3 n

=4-(bn+2)（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；     
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用Sn=

3

2

n2-

1

2

n，再写一式，两式相减，即可求得通项b_n，进而求得通项a_n．
（2）先求得c_n，进而利用错位相减法即可求得T_n．
（3）求出c_n的最大值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知和得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(

3

2

n2-

1

2

n)-(

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1))=3n-2
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故数列{b_n}的通项公式b_n=3n-2．
又∵

a

3 n

=4-(bn+2)，∴an=4-

(bn+2)

3

=4-

(3n-2)+2

3

=(

1

4

)n，
故数列{a_n}的通项公式为an=(

1

4

)n，
（2）cn=anbn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-2)×(

1

4

)n，

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
①-②得 

3

4

Sn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1═

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．    
（3）∵cn=(3n-2)•(

1

4

)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(

1

4

)n+1-(3n-2)•(

1

4

)n=(

1

4

)n•[

3n+1

4

-(3n-2)]=-9•(

1

4

)n+1(n-1)，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1≤c_n，
∴(cn)max=c1=c2=

1

4

．
若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，
则

1

4

m2+m-1≥

1

4

即可，解得m≤-5或m≥1．

点评：本题考查了已知数列的前n项和求通项及利用错位相减法求数列的前n项和，考查恒成立问题，掌握方法是解题的关键．